Диференціальні рівняння з запізненням

1. ОСНОВНІ ВИЗНАЧЕННЯ

У цьому розділі будуть розглянуті загальні визначення і положення лінійних диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється. Наведено математичні рівняння і системи рівнянь, що моделюють процеси в природі і виробництві. Розглянуто класифікацію диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється, описано метод кроків, що дозволяє досить часто отримувати рішення як чисельно, так і в аналітичному вигляді. Розглянуто деякі прості рівняння першого порядку.

1.1. Приклади математичних моделей, які описуються рівняннями з аргументом, що відхиляється

Математичні моделі, що описуються функціонально-диференціальними рівняннями, більш адекватно описують основну частину динамічних об'єктів. У реальних об'єктах, майже завжди, є елементи, що викликають ефекти, які запізнюються. Фізичними і технічними причинами виникнення запізнювання можуть бути транспортні затримки, затримки передачі інформації, затримки отримані при прийнятті рішень і т.д. Можливі й інші фактори. Найбільш природними є затримки при моделюванні економічних об'єктів, об'єктів в екології, медицині, динаміці популяцій і ін. В хіміко-технологічних процесах запізнювання викликається тим, що для проходження реакцій потрібен час, який визначається властивостями реагентів. Динаміка транспортних засобів на воді істотно відрізняється від динаміки на суші. Її особливості можна враховувати введенням запізнення. Можливі й інші фізичні та технічні інтерпретації.

Розглянемо деякі динамічні моделі, що описуються диференціальними рівняннями з аргументом, що відхиляється.

Приклад 1.1.1. Можна вважати, що зміна кута відхилення судна від курсу при куті повороту руля описується диференціальним рівнянням другого порядку

, , .

Зміна кута повороту керма відбувається в силу рівняння

Тут , , постійні, виміряне значення кута відхилення судна від курсу. В реальних умовах відхилення не може вимірюватись миттєво. Тому можна вважати, що

, .

Об'єднуючи рівняння, отримуємо систему диференціальних рівнянь з післядією

, .

Рис. 1.1.1.

Приклад 1.1.2. Динаміка ядерного реактору може бути описана системою двох диференціальних рівнянь з запізненням

, .

Тут потужність реактору, стаціонарне значення потужності, відхилення температури від її стаціонарного значення, температурний коефіцієнт, потужностний коефіцієнт, постійне запізнення.

Приклад 1.1.3. Однією з найпопулярніших математичних моделей останнього часу є модель «хижак-жертва». Вона описує не тільки взаємодію популяцій двох видів. З її допомогою можна описати взаємовідношення різних протиборчих сторін. У найпростішому вигляді динаміка популяції «хижак-жертва» може бути описана рівняннями типу Лотки-Вольтерра з запізненням. Вони мають вигляд

, .

Тут кількісна оцінка динаміки «жертви», кількість популяцій хижака.

Приклад 1.1.4. Розглянемо систему автоматичного регулювання (САР), представлену на рис 1.1.2.

Рис.1.1.2.

Нехай передавальна функція об'єкта має вигляд

а регулятор є або пропорціонально-диференціальним (ПД-регулятором) з передавальною функцією , або пропорціонально-інтегрально-диференціальним (ПІД-регулятором) з передавальною функцією . Тоді замкнена система регулювання описується рівняннями нейтрального типу

для ПД-регулятора і

для ПІД-регулятора.

Приклад 1.1.5. Важливим з практичної точки зору є випадок, коли запізнення присутнє не в об'єкті, а в регуляторі. Як правило, таке запізнення визначається технічними засобами і їм нехтувати не слід. Затримки такого роду називаються «інформаційними» і їх можна моделювати ланкою з чистим запізненням з передавальною функцією . Систему регулювання, в якій враховується «інформаційне» запізнення, можна подати рис 1.1.3.

Рис 1.1.3.

Приклад 1.1.6. Більш складні види рівнянь виникають при обліку нелінійностей. Як правило, нелінійності, що описують роботу виконавчих органів, мають «секторний» вигляд. Вони мають зону насичення, зону нечутливості і гістерезисні петлі. Припустимо, що вихід нелінійного об'єкта є кусково-непрервним функціоналом , , який залежить від передісторії.

Рис. 1.1.4.

Систему, представлену на рис 1.1.4, можна описати диференціальними рівняннями

Приклад 1.1.7. Розглянемо систему, що складається з електричної «довгої» лінії, на кінцях якої включені джерела живлення з опором і контур (рис 1.1.5).

Рис.1.1.5.

Контур складається з ємності і нелінійного елемента, що має вольт-амперну характеристику . Лінійні індуктивність і ємність довгої лінії позначені через та . Передбачається, що втрати в лінії відсутні. Процеси в таких системах описуються рівняннями в частинних похідних

, , ,

з граничними умовами

, .

Позначимо через , фазову швидкість, а через хвильовий опір «довгої» лінії. Як випливає з методу Даламбера, загальне рішення системи можна записати у вигляді суперпозиції двох хвиль

, .

Тут , довільні функції, що визначають початкове положення. З цього представлення слідує, що

, .

Використовуючи першу крайову умову для моменту часу отримуємо

, , , .

Використовуючи другу крайову умову и покладаючи , отримуємо диференціальне рівняння

, .

Отримане рівняння є диференціальним рівнянням нейтрального типу з аргументом, що відхиляється. Таким чином, дослідження системи диференціальних рівнянь в частинних похідних з нелінійними крайовими умовами в деяких випадках може бути зведено до дослідження рівнянь з післядією.

1.2. Класифікація диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється

Повна класифікація функціонально диференціальних рівнянь, як зазначається багатьма авторами, до кінця не проведена. Тому пропонується наступна найпростіша класифікація рівнянь з постійним запізненням. Є більш складні варіанти.

Розглянемо скалярне диференціальне рівняння з одним постійним запізненням

1. Нехай . Тоді рівняння називається диференціальним рівнянням з запізненням. Наприклад,

Ці рівняння вивчені досить непогано. Якісна теорія цих рівнянь має багато спільного з теорією звичайних диференціальних рівнянь.

2. Нехай . Тоді рівняння називається диференціальним рівнянням нейтрального типу. Наприклад,

Рівняння нейтрального типу містять властивості, як звичайних диференціальних рівнянь, так і функціональних рівнянь вигляду

Теорія цих рівнянь більш складна і менш досліджена, ніж рівнянь з запізненням.

3. Нехай . Тоді рівняння називається диференціальним рівнянням з випередженням. Наприклад,

Ці рівняння некоректні і досліджені недостатньо. Навіть задача Коші для них ставиться некоректно. Під час руху в додатному напрямку гладкість розв'язків на кожному кроці знижується, а в вузлових точках є розриви.

1.3. Задача Коші для рівнянь з післядією

Для системи звичайних диференціальних рівнянь першого порядку без запізнення основна початкова задача (задача Коші) ставиться таким чином. Потрібно знайти розв'язок системи

, ,

що задовольняє початковим умовам . Геометрично це означає, що в розширеному фазовому просторі потрібно знайти інтегральну криву, яка проходить через задану точку .

Рис. 1.3.1.

Для диференціального рівняння з одним постійним запізненням

, , ,

задача Коші полягає вже в знаходженні розв’язку системи, що задовольняє початковим умовам , , де довільна неперервна функція, яка називається початковою функцією. Геометрично це означає, що в розширеному фазовому просторі потрібно знайти інтегральну криву, яка починається з заданої кривої , . Множина називається початковою множиною. Природною умовою є «умова склеювання» .

Рис. 1.3.2.

Можна розглядати систему з декількома запізненнями

, , .

В цьому випадку початкова функція задається на множині . Якщо запізненням є функція , то

, .

Постановка задачі Коші ясно показує, що складність дослідження рівнянь навіть з одним постійним запізненням значно вище, ніж звичайних диференціальних рівнянь. Геометрична інтерпретація інтегралу рівняння, як сімейства непересічних кривих, тут не має місце.

1.4. Існування і єдиність розв’язку задачі Коші для рівнянь з післядією

Вважається, що математична задача поставлена коректно, якщо забезпечено існування її розв'язку, єдиність і неперервна залежність від початкових даних (або від параметрів).

Як і для систем звичайних диференціальних рівнянь, теорема існування і єдиності розв'язку задачі Коші може бути доведена з використанням методу стискаючих відображень.

Теорема (принцип стискаючих відображень). Нехай в повному метричному просторі задано оператор , який задовольняє наступним властивостям.

1. Оператор переводить точки простору в точки цього ж простору, тобто .

2. Оператор є оператором стискання, тобто для довільних двох точок , виконується , де , метрика простору .

Тоді в просторі існує і єдина нерухома точка , яка є розв’язком операторного рівняння

і може бути знайдена методом послідовних відображень, тобто

, , ,

довільна початкова точка простору .

Розглянемо використання цього принципу до доведення теореми про існування та єдиності розв'язку задачі Коші для рівняння з одним постійним запізненням

, , .

Теорема 1.4.1. (Існування і єдиності розв'язку задачі Коші).

Нехай у паралелепіпеді

визначена функція , яка задовольняє властивостям.

1. Функція неперервна по всім змінним у паралелепіпеді .

2. Функція задовольняє умові Ліпшиця по змінним , с постійної , тобто

, .

Тоді при , де

, ,

існує і єдиний розв'язок диференціального рівняння

який задовольняє початковим умовам , .

Доведення. Запишемо диференціальне рівняння з початковими умовами в інтегральному вигляді

, , .

В якості оператора візьмемо вираз

В якості метричного простору візьмемо простір неперервних і обмежених функцій з метрикою

Так, певний простір є повним метричним простором. Покажемо, що виконуються умови теореми принципу стискаючих відображень.

1. Оскільки функція неперервна на компакті, початкова функція неперервна, а інтегральний оператор тільки згладжує функцію, то неперервний оператор. Крім того функція на компакті буде обмеженою, тобто існує , що

А тоді існує , що

Таким чином оператор переводить простір неперервних і обмежених функцій в себе, тобто виконується перша умова принципу стискаючих відображень.

2. Покажемо, що оператор є оператором стискання. Дійсно для довільних функцій , буде виконуватись

І при оператор буде оператором стискання. Таким чином, на проміжку , де виконуються умови теореми принципу стискаючих відображень, і інтегральне рівняння має єдиний розв'язок.

1.5. Метод кроків

Одним з досить простих і ефективних методів дослідження і чисельного розв'язання рівнянь з одним постійним запізненням є метод кроків. Його суть полягає в тому, що на проміжку одного запізнення диференціальне рівняння з постійним запізненням перетворюється в звичайне диференціальне рівняння. Якщо це рівняння спеціального виду, то його можна інтегрувати. Рівняння загального вигляду можна вирішувати чисельно. Далі робиться перехід на наступний крок.

Розглянемо задачу Коші для рівняння з одним постійним запізненням

, , .

1. Розглянемо перший проміжок . На цьому проміжку диференціальне рівняння з запізненням перетворюється в звичайне диференціальне рівняння

оскільки на проміжку є відомою функцією. Нехай рівняння вдалося проінтегрувати і загальним розв’язком є функція . Постійна знаходиться з «умови склеювання» розв'язків в точці , тобто . З цієї умови знаходиться постійна і на проміжку розв’язок має вигляд

2. Розглянемо другий проміжок . На цьому проміжку диференціальне рівняння з запізненням також перетворюється в звичайне диференціальне рівняння

оскільки на проміжку також є відомою функцією. Нехай загальним розв'язком отриманого рівняння є функція . На цьому проміжку постійна знаходиться з «умови склеювання» розв'язків в точці , тобто . З цієї умови знаходиться постійна і на проміжку розв’язок має вигляд .

Аналогічно здійснюється інтегрування на наступних кроках.

) На му проміжку диференціальне рівняння з запізненням має вигляд

і є звичайним диференціальним рівнянням. Нехай загальним розв’язком отриманого рівняння є функція . На цьому проміжку постійна знаходиться з «умови склеювання» розв'язків в точці , тобто . З цієї умови знаходиться постійна і на проміжку розв’язок має вигляд

Приклад 1.5.1. Розглянемо диференціальне рівняння з одним постійним запізненням

, , .

1. На проміжку рівняння має вигляд

Проінтегрувавши його, отримаємо . Постійну знаходимо з «умови склеювання» в точці . Отримуємо . Звідси . І на проміжку розв’язок рівняння має вигляд

2. Розглянемо другий проміжок . На цьому проміжку рівняння має вигляд

3. Розглянемо третій проміжок . На цьому проміжку рівняння має вигляд

Подальші обчислення здійснюються аналогічно наведеним.

1.6. Чисельно-аналітичний метод інтегрування рівнянь з постійний запізненням

Приведемо узагальнення методу кроків. Розглянемо диференціальне рівняння з одним постійним запізненням

, , , .

Візьмемо проміжок , на якому виконуються умови теореми існування та єдиності. Замінимо диференціальне рівняння інтегральним

і в якості початкового наближення покладемо

Тоді (якщо ) першою ітерацією буде

Для подальших кроків маємо

Після отримання заданої точності обчислень, маємо наближений розв'язок на першому кроці

І переходимо на наступний крок з початковими даними, отриманими з розв'язку першого кроку.

1.7. Інтегральні типи диференціальних рівнянь з аргументом, що відхиляється, першого порядку

У цьому розділі будуть розглянуті найпростіші диференціальні рівняння першого порядку. Вони розглядаються на початку класичного курсу звичайних диференціальних рівнянь. Присутність запізнення не дозволяє їх інтегрувати на всьому часовому проміжку. Тому процес інтегрування йде по кроках методом, зазначеним в попередньому розділі.

1.7.1. Рівняння з відокремлюваними змінними

Розглянемо диференціальні рівняння вигляду

, , .

1. Розглянемо перший проміжок . На цьому проміжку диференціальне рівняння має вигляд

Оскільки є відомою функцією, то рівняння буде звичайним диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними (без запізнення). Розділивши змінні, отримаємо

Проінтегрувавши, будемо мати

Припустимо, що інтеграли вдалося обчислити

і розв’язати отриманий вираз відносно аргументу . Таким чином можна записати

Постійна інтегрування обчислюється із умови «склеювання» в точці , тобто

І на першому проміжку розв’язком рівняння буде

2. Розглянемо другий проміжок . На цьому проміжку рівняння має вигляд

і є звичайним диференціальним рівнянням з відокремлюваними змінними (без запізнення). Розділивши змінні, отримаємо

Проінтегрувавши, будемо мати

Припустимо, що інтеграли вдалося обчислити (причому перші інтеграли збігаються)

і розв'язати отриманий вираз щодо аргументу

Як і для першого інтегралу, постійна обчислюється з умови «склеювання», але вже в точці , тобто

І на другому проміжку розв’язком рівняння буде

На наступних проміжках процес продовжується аналогічно.

1.7.2. Квазілінійні диференціальні рівняння першого порядку

Розглянемо диференціальні рівняння вигляду

, , .

1. На першому проміжку диференціальне рівняння має вигляд

і є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку (без запізнення). Як випливає з формули Коші, його розв'язок має вигляд

Постійна інтегрування знаходиться з умови «склеювання» в точці

І розв’язком квазілінійного диференціального рівняння на першому проміжку буде

2. Розглянемо другий проміжок . На цьому проміжку рівняння має аналогічний вигляд

і також є лінійним диференціальним рівнянням першого порядку (без запізнення). Як випливає з формули Коші, його розв'язок має вигляд

Постійна знаходиться з умови «склеювання» в точці

І розв’язком квазілінійного диференціального рівняння на другому проміжку буде

Розв'язки на наступних проміжках знаходяться аналогічно.

1.7.3. Рівняння в повних диференціалах

Диференціальне рівняння (без запізнювання)

називається рівнянням в повних диференціалах, якщо існує функція двох змінних , повний диференціал якої

збігається з правою частиною рівняння, тобто

, .

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, є рівність змішаних похідних

І загальним інтегралом диференціального рівняння буде

Для рівняння з післядією (рівняння нейтрального типу) є аналогічний випадок. Рівняння

, ,

називається рівнянням в повних диференціалах, якщо існує функція трьох змінних , повний диференціал якої

збігається з правою частиною рівняння, тобто

, , .

Критерієм того, що рівняння є рівнянням в повних диференціалах, є тотожність

де

тобто

Або окремо

В цьому випадку існує функція , повний диференціал якої рівний правій частині рівняння, тобто

І загальний інтеграл має вигляд

Припустимо, його вдалося розв'язати щодо другого аргументу і отримати функціональне рівняння

1. На першому проміжку рівняння має вигляд

Постійна визначається з умови «склеювання» в момент часу

І на першому проміжку розв’язок має вигляд

2. Розглянемо другий проміжок , на цьому проміжку рівняння має вигляд

Постійна визначається вже з умови «склеювання» в момент часу

І на другому проміжку розв’язок має вигляд

Подальше інтегрування рівняння відбувається аналогічно.

2. ЛІНІЙНІ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНІ РІВНЯННЯ З ПІСЛЯДІЄЮ

Одним з найважливіших класів динамічних систем різних видів є лінійні системи. Вони володіють спеціальними властивостями, які дозволяють представляти загальний розв'язок у вигляді розкладів по базисних функціях. Загальний розв'язок може бути записано у вигляді лінійної комбінації лінійно незалежних розв'язків. Частинний розв'язок неоднорідного рівняння записується в інтегральному вигляді з використанням базисних розв'язків.

2.1. Загальні положення лінійних рівнянь

У цьому розділі будуть розглянуті лінійні диференціальні рівняння з постійними відхиленнями аргументів. В.М.Мілліонщіков відзначав, що «лінійні диференціальні рівняння досліджують не тому, що вони добре описують реальні процеси, а тому, що їх можна досліджувати а, іноді, і розв'язувати». Теорія лінійних рівнянь вивчена досить непогано. Причому, якщо для звичайних диференціальних рівнянь безліч розв'язків являє собою скінченновимірний простір, то для рівнянь навіть з одним постійним запізненням простір розв'язків нескінченновимірний. Але, тим не менш, зберігаються такі основні властивості лінійних рівнянь, як принцип суперпозиції і представлення загального розв'язку у вигляді лінійної комбінації лінійно незалежних розв'язків.

2.1.1. Лінійні рівняння без запізнення

Диференціальні рівняння вигляду

називаються лінійними неоднорідними диференціальними рівняннями. Якщо функція і рівняння має вигляд

то воно називається лінійним однорідним диференціальним рівнянням.

Основними властивостями лінійних однорідних рівнянь є наступні.

1. Якщо , ,…, є розв’язками лінійного однорідного рівняння, що задовольняє початковим умовам , , то при довільних постійних , ,…,, лінійна комбінація також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння, що задовольняє початковій умові .

2. Загальним розв'язком лінійного однорідного рівняння (тобто розв'язком, в якому за рахунок вибору постійних можна розв'язати довільну задачу Коші) го порядку буде лінійна комбінація лінійно незалежних розв’язків , ,…,, тобто .

Фактично безліч розв'язків лінійного однорідного рівняння го порядку являє собою мірний простір з базисом , ,…,, і довільний розв’язок можна представити у вигляді розкладу по цьому базису.

Для лінійних неоднорідних рівнянь

основними властивостями будуть наступні.

1. Якщо є розв’язком однорідного рівняння з початковою умовою , а розв’язком неоднорідного рівняння з початковою умовою , то їх сума буде розв’язком неоднорідного рівняння з початковою умовою .

2. Принцип суперпозиції. Якщо , розв’язок лінійних неоднорідних рівнянь

, ,

то при довільних постійних , лінійна комбінація розв’язків буде розв’язком системи з аналогічною лінійною комбінацією правих частин

(«системи можна додавати»).

3. Загальним розв’язком неоднорідної системи буде сума загального розв'язку лінійної однорідної системи і частинного розв’язку лінійної неоднорідної системи.

2.1.2. Лінійні рівняння з запізненням

Лінійні неоднорідні рівняння го порядку з післядією мають вигляд

Якщо є тільки одне відхилення, то рівняння має вигляд

Якщо , то рівняння з запізненням, якщо , то рівняння нейтрального типу. Якщо, то рівняння називається однорідним.

Основними властивостями однорідних диференціальних рівнянь

є наступні.

1. Якщо , ,…, є розв’язками лінійного однорідного рівняння, що задовольняють початковим умовам , , то при довільних постійних , ,…,, лінійна комбінація також буде розв’язком лінійного однорідного рівняння, що задовольняє початковій умові , .

На відміну від звичайних диференціальних рівнянь, де простір розв'язків скінченновимірний, тут множина лінійно незалежних розв'язків зліченна, і ця властивість зберігається і при , якщо ряд рівномірно збігається і припускає кратне диференціювання. Більш того, якщо розв’язок, який неперервно залежить від параметру , що відповідає початковій функції , , то для довільної неперервної функції інтеграл

також буде розв’язком, що задовольняє початковій умові

, .

2. Рівняння має зліченне число , лінійно незалежних розв'язків. Простір розв'язків є нескінченновимірним банаховим простором. І розв’язок можна представити у вигляді розкладу в ряд по лінійно незалежним розв’язкам.

Для лінійних неоднорідних рівнянь з післядією справедливі такі властивості

1. Якщо є розв’язком однорідного рівняння, що відповідає початковій умові , , а розв’язком неоднорідного рівняння, що відповідає початковій умові , то їх сума буде розв’язком неоднорідного рівняння, що відповідає початковій умові , .

2. Принцип суперпозиції. Якщо , розв'язки лінійних неоднорідних рівнянь з початковими умовами і правими частинами , , то при довільних постійних , лінійна комбінація розв’язків буде розв’язком системи з аналогічною лінійною комбінацією правих частин і початковою умовою («системи можна складати»). Можна розглядати і нескінченні ряди, але при цьому необхідно вимагати рівномірну збіжність рядів і їх похідних.

Розв’язок лінійного однорідного рівняння з початковою умовою , при кожному фіксованому можна розглядати як лінійний функціонал, заданий на просторі початкових функцій . Нехай є лінійним нормованим простором з базисом , , ,… (наприклад, , , ,…). Тоді розв’язки, , , визначені цими початковими функціями, утворюють фундаментальну систему розв'язків. Оскільки довільну функцію , можна розкласти по базису ,

то, відповідно, розв’язок являтиме собою ряд

з тими ж коефіцієнтами.

Можна діяти інакше. За теоремою Ріса, будь лінійний функціонал може бути представлений в інтегральному вигляді

де інтеграл розуміється в сенсі Стільтьеса. Ядро є розв’язком однорідного рівняння, що задовольняє особливим властивостям. Для лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами такі ядра вдається побудувати.

2.2. Лінійні однорідні рівняння з постійними коефіцієнтами

Найбільш «конструктивним класом» лінійних диференціальних рівнянь є рівняння з постійними коефіцієнтами. В основному, розв’язки лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами можна отримувати в аналітичному вигляді. Сутність розв’язку рівнянь зводиться до знаходження власних чисел характеристичних рівнянь, що представляють собою алгебраїчні рівняння порядку, рівному порядку рівняння. Але якщо характеристичне рівняння диференціального рівняння має скінченне число коренів, то характеристичне рівняння диференціального рівняння з постійним запізненням є квазіполіном, що має злічене число коренів.

2.2.1. Лінійні рівняння без запізнення

Лінійні однорідні диференціальні рівняння без запізнення мають вигляд

Розв’язок шукається у вигляді , де деякий параметр. Продиференціювавши, получим

, ,…, .

Після підстановки і скорочення на отримуємо характеристичне рівняння

Рівняння ого степеня має коренів , ,…, . В залежності від коренів розглядають наступні випадки.

1. Корені , ,…, дійсні, різні. Тоді отримуємо лінійно незалежних розв’язків

, ,…, .

2. Є комплексно спряжені корені . Цим кореням відповідають два лінійно незалежних розв'язки

, .

3. Корені кратні.

3.1. Корені дійсні кратні . Цим кореням відповідають лінійно незалежні розв'язки

, ,…, .

3.2. Корені комплексні кратні . Цим кореням відповідають лінійно незалежні розв'язки

, ,…, ,

, ,…, .

2.2.2. Лінійні рівняння з запізненням

Лінійні однорідні рівняння го порядку з постійними коефіцієнтами і постійним запізненням мають вигляд

Як і для рівнянь без запізнення розв'язок шукається у вигляді , . Звідси

, ,…, ,

, ,…, , .

Після підстановки і скорочення на , отримуємо характеристичне рівняння

Якщо є тільки одне відхилення, то рівняння має вигляд

Відповідно, характеристичне рівняння має вигляд

На відміну від рівнянь із запізненням отримане характеристичне рівняння (навіть для 1, коли рівняння має вигляд ) маємо зліченну кількість коренів , Незважаючи на це, лінійно незалежні розв'язки будуються так само, як і для рівняння без відхилення.

1. Корені , ,…, ,… дійсні, різні. Тоді отримуємо лінійно незалежні розв’язки

, ,…, ,….

2. Є комплексно спряжені корені . Цим кореням відповідають два лінійно незалежних розв’язки

, .

3. Корені кратні.

3.1. Корені дійсні кратні . Цим кореням відповідають лінійно незалежні розв’язки

, ,…, .

3.2. Корені комплексні кратні . Цим кореням відповідають лінійно незалежні розв’язки

, ,…, ,

, ,…, .

2.2.3. Операційний метод розв'язку лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами

Розглянемо метод розв'язку, заснований на інтегральному перетворенні (перетворенні Лапласа). Розглянемо лінійне однорідне диференціальне рівняння з постійними коефіцієнтами го порядку

Виконаємо перетворення Лапласа з обома частинами рівняння

Позначимо

Тоді

, ,… .

Після підстановки отриманих виразів в початкове диференціальне рівняння, отримуємо

Звідси

Використовуючи метод невизначених коефіцієнтів, подамо отриманий вираз у вигляді суми «простих» дробів

Перші доданки відповідають дійсним кореням (з урахуванням їх кратності), другі - комплексним кореням. Зворотні перетворення проводяться (як правило) на підставі таблиць.

Розглянемо диференціальне рівняння першого порядку з одним запізненням

, , .

Застосовуємо перетворення Лапласа до диференціальних рівнянь

Перетворення Лапласа для кожного з членів дає наступне

, ,

скільки , то після підстановки в початкове рівняння, отримуємо

Звідси маємо

Зворотний перехід робиться наступним чином. Користуючись формулою звернення інтеграла Лапласа, отримуємо

Можна запропонувати наступний метод. Замкнемо відрізок півколом

Рис. 2.2.1.

Інтеграл по дузі півкола при прямує до нуля. Застосовуючи до інтеграла, замкнутому дугою півкола, теорему про відрахування, отримуємо

Сумування йде по всіх особливих точках підінтегральної функції, тобто по нулях квазіполінома.

Зауваження. Перевага одного методу перед іншим є досить суперечливою. Але операційний метод дозволяє записати розв'язок в інтегральному вигляді.

2.3. Характеристичний квазіполіном

Для лінійного однорідного диференційно-різницевого рівняння з постійними відхиленнями аргументів загального вигляду

характеристичний квазіполіном записується у вигляді

Розглянемо розташування нулів цього квазіполінома. Як відомо, поліном го степеня має рівно нулів. Характеристичний квазіполіном навіть в разі одного запізнення і першої похідної

має зліченне число коренів. У загальному випадку він є цілою аналітичною функцією. І (якщо не вироджується в поліном), то має безліч нулів, граничної точкою яких є нескінченність.

Теорема 2.3.1. Якщо диференціальне рівняння типу, що запізнюється, тобто, то існує число , що всі корені характеристичного квазіполінома лежать в лівій півплощині .

Доведення. В даному випадку характеристичне рівняння можна переписати у вигляді

Звідси

Оскільки , то при порядок зростання величини вище порядку зростання кожного іншого доданка, а отже і всієї суми . І не існує з досить великою дійсною частиною, при якому рівняння звертається в тотожність.

Зауваження 2.3.1. Якщо рівняння випереджаючого типу, тобто , то всі корені характеристичного квазіполіному лежать в правій півплощині .

Зауваження 2.3.2. Якщо рівняння нейтрального типу, тобто , то, як буде показано далі, всі корені характеристичного квазіполінома лежать в смузі .

2.3.1. Розташування коренів квазіполінома першого порядку з чистим запізненням

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння першого порядку з чистим запізненням

. (2.3.1)

Його характеристичний квазіполіном має вигляд

. (2.3.2)

Проведемо дослідження коренів характеристичного квазіполінома (2.3.2), приділяючи особливу увагу кореням з додатною дійсною частиною. Нехай . Поділяючи дійсну і уявну частини, отримаємо систему з двох рівнянь:

або .

Звідси

або

. (2.3.3)

Нехай - дійсний додатний корінь рівняння .

Він має наступні властивості

- на додатній півосі при буде виконуватись ;

- у випадку буде .

Функції , в (2.71) визначені при .

Система (2.71) може бути розв'язана і досліджена графічно. Це проводиться, відповідно, побудовою кривих тріхоіди і періодичної функції . Після цього знаходяться точки їх перетину. Наприклад, графічний розв'язок системи трансцендентних рівнянь (2.71) для дійсних у випадку показано на Рис.2.2.

Області, в яких лежать корені системи, є смугами, паралельними дійсній осі.

Рис. 2.2. Визначення коренів характеристичного квазіполінома рівняння теплопровідності із запізненням

Із рисунка видно, що при система (2.71) має періодичні розв'язки, і існує злічене число коренів. Позначимо корені (точки перетину графіків) в кожній із областей:

де .

Маємо, що число коренів рівняння

З додатною дійсною віссю () рівне

при цьому .

2.3.2. Асимптотична поведінка коренів характеристичного рівняння.

Оскільки точне розташування нулів квазіполінома знайти не вдається, розглянемо асимптотичний розподіл коренів рівняння з одним відхиленням аргументу.

Характеристичне рівняння має вигляд

При великих по модулю значеннях головним членом першої суми буде , а головним членом другої суми буде . Отже при

буде

1. Розглянемо випадок , тобто диференціальне рівняння нейтрального типу. В цьому випадку характеристичне рівняння приймає вигляд

Скоротивши на , отримаємо

Прологарифмувавши (логарифм комплексного числа), отримаємо

1) При значення під логарифмом додатне і

2) При значення під логарифмом від’ємне і

2. Нехай , тобто рівняння з запізненням. Перетворимо рівняння

До вигляду

Позначимо , . Тоді рівняння прийме вигляд

Розв’язок шукаємо у вигляді . Після підстановки маємо

Візьмемо модуль від обох частин рівняння

Возведемо отриманий вираз в степінь

Оскільки рівняння з запізненням, то і існує таке , що всі корені розташовані зліва, тобто. Тому і тому

, .

Перепишемо другий вираз, помноживши і розділивши на

Оскільки

і ,

то

Звідси отримуємо граничне значення аргументу нулів характеристичного рівняння

Повернемося к початковому рівнянню

Прологарифмувавши його, отримуємо

Підставивши , отримаємо

Порівнюючи уявні частини, при , отримуємо

Звідси

, якщо ,

, якщо .

Як було показано вище, при досить великому буде виконуватись

Логарифмуючи цей вираз, отримуємо

Таким чином, остаточно асимптотика величин , при має вигляд

, якщо , , якщо .

Приклад 2.3.1. Розглянемо рівняння першого порядку з запізненням

Характеристичний квазіполіном цього рівняння має вигляд

Порівнюючи з загальним випадком, маємо , , , , . Вважаємо . Тоді на підставі загальних залежностей, отримуємо наступну асимптотику поведінки коренів характеристичного рівняння

, , …

Приклад 2.3.2. Розглянемо рівняння першого порядку нейтрального типу

Характеристичний квазіполіном цього рівняння має вигляд

Порівнюючи з загальним випадком, маємо , . Вважаємо . Тоді на підставі загальних залежностей, отримуємо наступну асимптотику поведінки коренів характеристичного рівняння

, якщо ,

, якщо , …

2.4. Представлення розв'язків лінійних рівнянь з постійними коефіцієнтами

Для лінійних диференціальних рівнянь однією з основних функцій, які використовуються для отримання розв'язків, є експонента. Причому для випадку комплексного характеристичного числа вона розпадається на добуток експоненти і тригонометричних функцій (косинуса і синуса). В цьому розділі введемо функції, «схожі» на експоненту і тригонометричні функції. З їх допомогою отримаємо розв'язки деяких видів рівнянь в аналітичній формі.

2.4.1. Лінійні рівняння першого порядку з постійними коефіцієнтами

Як відомо, розв'язок задачі Коші для найпростішого лінійного диференціального рівняння

має вигляд

, ,

де функція називається експоненціалом. Розглянемо, відповідно, лінійне диференціальне рівняння з чистим запізненням

, , . (2.4.1)

Означення 2.4.1. Експоненціалом, що запізнюється, назвемо функцію, яка має вигляд

(2.4.2)

поліному степеня , «склеєного» у вузлах , де - нульова матриця.

Наведемо ряд тверджень, які характеризують властивості цієї функції.

Лема 2.4.1. Справедливе наступне правило диференціювання

, (2.4.3)

тобто експоненціал, що запізнюється, представляє собою розв’язок (2.4.1), який задовольняє одиничним початковим умовам

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

Лема 2.4.2. Для експоненціалу, що запізнюється справедливе наступне правило інтегрування

=. (2.4.4)

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

Використовуючи наведені вище леми, розглянемо можливість отримання розв'язок задачі Коші в компактному вигляді і, в подальшому, розв'язок задачі керування.

Теорема 2.4.1. Розв’язок рівняння (2.4.1), яке задовольняє початковим умовам ,, де довільна неперервно диференційовна векторна функція, має вигляд

. (2.4.5)

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

Зауваження 2.4.1. У початкових умовах теореми була потрібна неперервна диференційовність функції . Якщо виконати інтегрування частинами, отримаємо

(2.4.7)

інтегральне представлення розв’язку в припущенні лише неперервності функції .

Розглянемо неоднорідне рівняння з чистим запізненням

. (2.4.8)

Як випливає з теорії лінійних рівнянь, розв'язок неоднорідного рівняння, що задовольняє початковим умовам , , складається з суми розв'язку однорідного рівняння, що задовольняє цим умовам, і розв'язку неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовим умовам.

Теорема 2.4.2. Розв’язок неоднорідного рівняння (2.4.8), що задовольняє нульовим початковим умовам , , має вигляд

. (2.4.9)

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

2.4.2. Лінійні рівняння другого порядку з постійними коефіцієнтами

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку без запізнення

, , , .

Розв’язок однорідного рівняння має вигляд

Враховуючи початкові умови , маємо

Частинний розв'язок неоднорідного рівняння, що задовольняє нульовим початковим умовам, має вигляд

де - ядро Коші, функція, яка має вигляд

І задовольняє початковим умовам

, .

Розв’язуючи систему

отримуємо

, .

Таким чином

І розв’язок задачі Коші лінійного неоднорідного рівняння, яке задовольняє початковим умовам , , має вигляд

Розглянемо лінійне диференціальне рівняння другого порядку з постійним запізненням

, , , ,

, . (2.4.10)

Введемо функції, названі косинусом і синусом, що запізнюються. За допомогою цих функцій отримаємо розв'язання задачі Коші диференціального рівняння (2.4.10).

Як відомо, тригонометричні функції и можна представити у вигляді розкладу в степеневі ряди

Введемо функції, «схожі» на ці, але представляють не ряди, а часткові суми, і мають такий вигляд

Означення 2.4.2. Косинусом, що запізнюється, назвемо функцію, яка має вигляд

(2.4.12)

полінома степеня 2 на проміжках , склеєного у вузлах .

Означення 2.4.3. Синусом, що запізнюється, назвемо функцію, яка має вигляд

(2.4.13)

полінома степеня на проміжках , склеєного у вузлах .

Наведемо ряд тверджень, які характеризують властивості функцій , .

Лема 2.4.3. Справедливе наступне правило диференціювання

, (2.4.14)

тобто косинус, що запізнюється, є розв’язком лінійного диференціального рівняння другого порядку з запізненням (2.4.10), що задовольняє одиничній початковій умові , .

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

Лема 2.4.4. Для довільного , справедливе наступне правило диференціювання

, (2.4.15)

тобто синус, що запізнюється, є розв’язком рівняння з запізненням (2.4.10), що задовольняє початковій умові , .

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

Доведення. Нехай величини и фіксовані. Тоді для довільного моменту часу : буде виконуватись наступне співвідношення

Продиференціювавши вираз в дужках, отримуємо

= .

Або

що й необхідно було довести.

Лема 2.4.5. Для косинуса, що запізнюється, справедливе наступне правило інтегрування

= . (2.4.16)

Доведення можна отримати безпосередньою перевіркою. Докладні обчислення наведені в [ ].

Лема 2.4.6. Для синуса, що запізнюється, справедливе наступне правило інтегрування

= , (2.4.17)

Використовуючи наведені леми, розглянемо можливість отримання розв'язку задачі Коші в компактному вигляді.

Теорема 2.4.3. Розв’язок однорідного диференціального рівняння з запізненням (2.4.10), яке задовольняє початковій умові , , , де - довільна двічі неперервно диференційовна функція, яка має вигляд

. (2.4.18)

Розглянемо неоднорідне диференціальне рівняння

, , . (2.4.18)

Теорема 2.4.4. Розв’язок неоднорідного рівняння, яке задовольняє нульовій початковій умові ,, має вигляд

. (2.4.19)

Об'єднуючи результати двох останніх теорем, отримуємо наступне.

Теорема 4.2.5. Розв’язок неоднорідного диференціального рівняння з запізненням (4.2.10), яке задовольняє початковій умові , , , де - довільна двічі неперервно диференційовна функція, яка має вигляд

(2.4.20)

Приклад 2.4.1. Розглянемо скалярне диференціальне рівняння другого порядку з запізненням

, , , .

Нехай розглядається проміжок . Стосовно до розглянутого прикладу 3.3.1. спеціальні функції, названі косинусом, що запізнюється, і синусом, що запізнюється, мають такий вигляд

полінома степеня на проміжках , склеєного у вузлах .

Як випливає з теореми 3.3.3, розв’язок неоднорідного рівняння з запізненням, що задовольняє початковій умові , , , має вигляд

Особливістю введених функцій, названих косинусом, що запізнюється, і синусом, що запізнюється, є те, що на скінченному проміжку часу вони представляють собою поліноми, інтеграли від яких можна обчислювати. Оскільки розглядається , то . І інтеграли обчислюються наступним чином

2.5. Деякі типи рівнянь зі змінними коефіцієнтами

Розглянемо лінійні диференціальні рівняння зі змінним запізненням вигляду

де , постійні величини, . Ці рівняння називаються рівняннями Ейлера (за аналогією з диференціальними рівняннями без запізнення). Розв'язок шукаємо у вигляді . Тоді

, , , …,

Після підстановки в початкове рівняння отримуємо

Скоротивши на , отримуємо характеристичне рівняння

, .

Для диференціального рівняння з одним постійним запізненням

Розв’язок шукається у вигляді , . І отримуємо наступне

, ,…, ,

, ,…, .

Підставивши в початкове диференціальне рівняння, отримаємо

Позначимо І отримаємо характеристичне рівняння вигляду

Як і для рівняння з постійними коефіцієнтами і одним постійним запізненням, розглядаються три випадки: корені характеристичного рівняння дійсні різні; корені комплексно зв'язані; корені кратні. Для кожного з випадків отримується відповідний набір лінійно незалежних розв’язків. Загальний розв'язок має вигляд лінійної комбінації лінійно незалежних розв'язків.